1: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)00:35:22 ID:1N9
1辺が3㎝の正方形があります.
正方形の中(境界を含みます)に10の点を打ちます.
それぞれの点の距離のうち最小なものを最小距離と呼ぶとき,
最小距離の取りうる値の範囲を答えよ.
no title

引用元: http://hayabusa.open2ch.net/test/read.cgi/news4vip/1482507322/

2: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)00:38:15 ID:MzI

3: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)00:38:34 ID:y52
.←が気になる

4: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)00:41:06 ID:yx2
0~0.75cm

5: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)00:41:32 ID:1N9
>>2
範囲で答えてね!

6: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)00:41:50 ID:1N9
>>3
数学科なので癖です!
すみません!

7: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)00:42:37 ID:1N9
>>4
違います!

21: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)03:36:02 ID:Rb7
最小0
最大2√3
鳩の巣原理。

22: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)03:36:55 ID:Rb7
ミスった
最小0
最大√2

25: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)03:41:30 ID:Rb7
最小値は明らかに0

正方形を1辺1cmの正方形の領域9つに分割すれば、鳩の巣原理より、2個以上の点を含む領域が必ず1つ以上ある
よって最大値は、1辺1cmの正方形の中に2つの点を打つ時の最大の距離
それは対角線上の頂点に点を打った時だから、√2

28: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)03:45:57 ID:Rb7
あ、√2じゃねーわ
8個しか点うてねーわ
no title

29: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)03:46:15 ID:NL3
てかこれ>>1ねてるでしょ……

30: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)03:51:43 ID:Rb7
じゃ、代わりに俺が

好きな自然数を5つ選ぶと、その中に、4で割った時の余りが同じになるペアが必ずある。
なぜか?

32: 圓田宮親王◆lm.aAkVNSc 2016/12/24(土)04:10:17 ID:gND
mod4で考えると
123012301230と繰り返し、
ここから異なる5つの自然数をとろうとしても必ず同じ物を含む
ゆえに題意は成り立つ

33: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)04:11:29 ID:Rb7
>>32
はい。

35: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)04:19:42 ID:OzB
なぜか書き込めなくなる>>1です
一応√2より小さいでも正解です!
厳密に解くと確か1.25以下になります!

36: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)04:20:17 ID:NL3
じゃあその厳密な話を聞きたい

37: 圓田宮親王◆lm.aAkVNSc 2016/12/24(土)04:35:31 ID:gND
正方形に内接する円を考える
余弦定理より
(2/3)^2  + 
(2/3)^2 -
2(2/3)^2*cos36° 
が求める答えの上限である

39: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)04:42:31 ID:OzB
>>36
文章じゃ書きにくいです!
待って下さい!

41: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)04:43:44 ID:OzB
>>37
10等分ではなく9等分して円の中心に点を打つ方がいいかもしれないですね!
まあそれより大きくできるので違いますが!

43: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)04:45:12 ID:qLc
>>1
どんなアイデアがあるというのだ

44: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)04:46:48 ID:OzB
>>43
鳩の巣原理です!

49: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)06:33:25 ID:8TP

50: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)06:35:09 ID:8TP
0cm以上、かつ、3√2cmより小さい

52: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)06:44:01 ID:Uef
>>46
数学科ですよ!
>>47
関係ありますよ!
>>48
すみません。わからないです!
>>49
違う人ですね!
>>50
距離の最大値ではなく最小距離の最大を求める問題です!

54: 名無しさん@おーふん 2016/12/24(土)06:50:57 ID:OPl
最小に範囲がある?

55: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)07:32:17 ID:qLc
>>52
どう鳩の巣原理と関係あるのだ?

>>1辺が3㎝の正方形があります.
>正方形の中(境界を含みます)に10の点を打ちます.
>それぞれの点の距離のうち最小なものを最小距離と呼ぶとき,
>最小距離の取りうる値の範囲を答えよ.

この問題の要点は正方形を円形に置き換えても成り立つやろ?

直径が3㎝の円形があります.
円形の中(境界を含みます)に10の点を打ちます.
それぞれの点の距離のうち最小なものを最小距離と呼ぶとき,
最小距離の取りうる値の範囲を答えよ.

56: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)18:10:23 ID:Uef
>>53
0以上√2より小さいです!

>>54
ありますよ!

>>55
>>25に考え方書いてるので参考にして下さい!

57: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)18:11:28 ID:Uef
あと書き込めなくなる現象の対処法知ってる人がいれば教えて下さい!
書き込み完了とは出るんですけど反映されません!

58: 【90】+【23】=200 2016/12/24(土)18:13:15 ID:KRt
え、0<最小距離<3√3じゃないの?

59: 【88】+【51】=200 2016/12/24(土)18:13:30 ID:KRt
違う3√2か

61: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)18:15:45 ID:Uef
>>59
違いますよ!
3√2は点の距離の取りうる最大値ですが
最小距離の取りうる最大値ではありません!

62: 【4】+【49】=200 2016/12/24(土)18:18:29 ID:KRt
んー1周が12cmだから、1.2以上確定か

63: 【14】+【55】=200 2016/12/24(土)18:19:11 ID:KRt
いや中心にひとつおけばいいから12/9以上か

64: 【86】+【67】=200 2016/12/24(土)18:21:23 ID:KRt
あー、3平方あるからずれるのか
円やったらかなり楽なのになー

65: 【51】+【44】=200 2016/12/24(土)18:23:00 ID:KRt
最大で1.5cm以下なのは確定

66: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)18:23:58 ID:qLc
この1は
10点全てが対角線上の角に打たれることを考えてないやろ

71: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)18:31:26 ID:qLc
>>1
そもそもスレタイにある
アイディアで解ける良問
ではないと思う

73: 【6】+【51】=200 2016/12/24(土)18:34:05 ID:KRt
√1.25以上なのは確定

74: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)18:34:30 ID:NL3
>>71

アイデアも必要だけどその後にも厳密な話をしないといけないし
そこ抜かしたら数学じゃない気がする
これは主観だけど

79: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)18:42:31 ID:TG0
>>66
対角線上にすべて打つと0になるので考えてますよ?

>>71
鳩の巣原理を使えば√2より小さいことはわかるので
そこまで解けていれば正解ですので
アイディアだけで解けるようになってますよ
良問かどうかは個人の判断になりますね!

>>74
厳密な話はすっとばしてもいいですよ
証明ではないので楽しい数学として扱って下さい!

82: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)18:49:51 ID:TG0
正確な答えは
0以上1.25以下です!
でもアイディアだけで解くと
0以上√2より小さいです!
どちらも正解です!

83: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)18:50:32 ID:B6R
なんで最大の方3√2じゃないの?

84: 【99】+【75】=200 2016/12/24(土)18:52:20 ID:KRt
(0 0),(0 1.5),(0 3)(1 1)(1.5 0)(1.5 3)(2 2)(3 0)(3 1.5)(3 3)なら
√1.25以上なのは確保できてる

85: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)18:52:20 ID:qLc
>>83
題意として最小距離を求めているから
2点でも同じ位置に置いてしまうと0になってしまうってことだわ

86: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)18:57:06 ID:B6R
>>85
ああそういう事か把握把握
最小値の最大値とか大学入試でやったなぁ

87: 【58】+【77】=200 2016/12/24(土)18:58:42 ID:KRt
んで、(1 1)と(2 2)をずらしていくと
(3-(7±√7)/2)√2=1.163にはなった

88: 【88】+【8】=200 2016/12/24(土)19:06:52 ID:KRt
(0,0)
(0,1.25)
(0,3)
(1,2)
(1.25,0)
(1.75,3)
(2,1)
(3,0)
(3,1.75)のときが最大?

89: 【28】+【43】=200 2016/12/24(土)19:07:25 ID:KRt
>>88
(3,3)を追加で

90: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)19:09:07 ID:qLc
>>89
どういう考え方してるん?

もし10点じゃなくて6点ならどこに置くのが
最小距離が最大になるのやろか

91: 【24】+【58】=200 2016/12/24(土)19:09:40 ID:KRt
>>90
>>28が地味にいい仕事してた

94: 【94】+【6】=200 2016/12/24(土)19:14:08 ID:KRt
まぁ総当たりでデカい数字が出るまで考えてる
点が多くなければ辺にばらして、中心にひとつあるやつが最大だけど今回は点が多いからなぁ
今回は中心部にふたつ入れて>>84,>>87とかで色々試した
んで振り返って>>28を見たらアイディアが浮かんで>>88,>>89になった

95: 【98】+【52】=200 2016/12/24(土)19:16:45 ID:KRt
6やと中心部にひとつ。
残りは辺にばらしてやるのがベスト。単純なものじゃなかったら総当たりやね

96: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)19:17:34 ID:wi8
0~√3

10の点の意味が良く判らないが

102: 【32】+【99】=200 2016/12/24(土)19:39:27 ID:KRt
鳥の巣理論を除けばやっとるのただのごり押しやからね

103: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)19:46:20 ID:3oh
すぐ書き込めなくなります>>1です

>>88
それが最大の値ですね!
解き方としては(0,0)から(0,2)上に点を打つときに
(0,0)から点までの距離をx
(0.2)から点までの距離をy
とおいて方程式を解けば求められます!

書き込みができなくなるのでこのスレは落として下さい
対処法があればどなたか教えて下さい
それでは失礼します

104: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)19:49:23 ID:3oh
>>96
√3は取れませんね!
10の点は(とおのてん)のつもりで書いてました
10つとは言わないのでこのように書きましたが
10個の点とかにした方が良かったですね!

105: 【15】+【71】=200 2016/12/24(土)19:52:14 ID:KRt
んーでもこれ内側の点同士をもうちょっと近づけたらもうちょっといける気がしないでもない

106: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)19:53:27 ID:Rb7
結局答えは0から1.25なの?
どうして?どんな置き方?

108: 【61】+【79】=200 2016/12/24(土)19:58:46 ID:KRt
違ったこんなんや
no title

109: 【91】+【41】=200 2016/12/24(土)20:01:40 ID:KRt
縦3マス横4マス離れとるのは3平方の定理で直線距離にして5マス離れとる扱い
5マス=1.25cmだからこれで最大だと思いたい

110: 【70】+【99】=200 2016/12/24(土)20:04:17 ID:KRt
ただ……中心部の2点は√2cm離れとるからまだ近づけれるんよ
だから……実はこれでも最大でない可能性がある

111: 【61】+【100】=200 2016/12/24(土)20:12:16 ID:KRt
これ、1.25を微妙に超える気がする
(1、1)を(1.05、1.05)に、(2、2)を(1.95、1.95)にしたとき、
中心部2点間の距離は√2×0.9=1.27279……になる

(1.05、1.05)と(0、1.75)間の距離は1.26194……で(0、1.75)を(0,0)方向に動かせるようになってしまう

112: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)20:15:50 ID:Rb7
鳩の巣原理で分かるのは√2より大きいってことだけだよね
それだけで>>1の問題を解けたとは言い難い

113: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)20:16:04 ID:Rb7
いや、小さい

114: 【19】+【74】=200 2016/12/24(土)20:16:24 ID:KRt
悪いけど、これ1.25より大きい値出来てまうわ

115: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)20:18:44 ID:Rb7
1.25<=x<√2
ということがここまでで分かったのか
1.3とか1.4とかになる置き方が得られたとして、その置き方が最善だと証明するのはどうやるんだ

116: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)20:22:17 ID:Rb7
√2になる置き方がないってことも>>28だけじゃ証明できたとまでは言えない

117: 【29】+【60】=200 2016/12/24(土)20:25:29 ID:KRt
詳しくやるには、(0,a)(0,3)間、(b,b)(2b,2b)間、(0,a)(b,b)間の距離の内、2つ以上同じにa,bを探して総当たりせなあかんのか
めんどくさすぎ

118: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)20:27:46 ID:Rb7
辺や頂点に点を置くべき、ってのも自明ではないと思う

119: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)20:29:08 ID:r1c
これのどこがアイデア勝負なんだ…
ガッチガチじゃねえか

120: 【100】+【17】=200 2016/12/24(土)20:30:12 ID:KRt
>>118
距離を最大化するには辺や頂点にある程度おかないかんのは正しい
問題はいくつ辺と頂点におけない点が出来るか

>>119
この問題はアイディア勝負じゃないよ
可能性をとことんまで潰さんと

121: 【46】+【83】=200 2016/12/24(土)20:32:20 ID:KRt
とりあえずイッチ呼んで、1.25超える可能性が出てきたこと言わんと

122: 【73】+【56】=200 2016/12/24(土)20:36:33 ID:KRt
昨日に続いて答えを壊せて私としては満足

134: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)21:49:09 ID:Rb7
1.25を超える置き方早く貼ってよ

135: 【3】+【96】=200 2016/12/24(土)22:01:03 ID:KRt
>>108の中心部にある2点をさらに縦横0.05cmほど中心へずらす
(1,1)→(1.05、1.05)、(2,2)→(1.95、1.95)

あとは辺上にある(0,1.25)(1.25,0)(1.75,3)(3,1.75)をそれぞれの辺の中心方向にずらしていくと1.25cmをほんの少し超える

136: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)22:20:45 ID:Rb7
>>135
マジじゃん

137: 【73】+【3】=200 2016/12/24(土)22:29:52 ID:KRt
>>136
でも、最終的にどこが限度なのかが分からないから貼れない

139: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)23:22:12 ID:Rb7
>>137
解いてみたら
約1.258626273
左上と右下に余裕があるのが気になるけど、この状態から少しでも半径を増やせば中央の2点が置けなくなっちゃう
no title

140: 名無しさん@おーぷん 2016/12/24(土)23:23:32 ID:Rb7
>>108の置き方で限界まで半径を大きくすると>>139
これより上手い並べ方ある?

141: 【6】+【61】=200 2016/12/24(土)23:34:16 ID:KRt
解いたんか
>>139の根気に脱帽
これ以上はないと信じたい

144: 名無しさん@おーぷん 2016/12/25(日)00:28:16 ID:q4q
>>143
いや、こんな感じで式たてて解いただけ
http://open2ch.net/p/news4vip-1482507322-144-490x300.png

150: 名無しさん@おーぷん 2016/12/25(日)08:12:21 ID:xbZ
>>139
その絵だと見づらくなるから
求める値の1/2の半径の円を書けばいいのでは
四角も外側のサイズで

151: 名無しさん@おーぷん 2016/12/25(日)08:16:31 ID:xbZ
こんな感じの絵ね
no title

153: 名無しさん@おーぷん 2016/12/25(日)13:47:52 ID:q4q
>>151

no title

157: 名無しさん@おーぷん 2016/12/25(日)16:05:35 ID:p2o
さっぱりわからん
no title

158: 【94】+【65】=200 2016/12/25(日)16:13:25 ID:NDC
この手の問題は中心部(頂点や辺でないところに)いくつ置くかから始まる
今回は10点、偶数やから0か2か4か。
頂点と辺の中点におければ8やから、基本は2をベースにスタート。ここまでは思いついた
で、中心部の2点を共有した等辺多角形をふたつ作ればいい。あまった点は使わない角にシュートすればええ
これに気づくのに時間かかり過ぎた

161: 名無しさん@おーぷん 2016/12/25(日)16:18:33 ID:q4q
スレ主はまだいるのか?
1.258...以上の答えはあるのか?

162: 名無しさん@おーぷん 2016/12/25(日)16:26:59 ID:q4q
>>157
!?
この置き方、1.262987じゃん
1.258が更新された

164: 【42】+【97】=200 2016/12/25(日)16:44:43 ID:NDC
ってことはまだパターンあるんや

165: 【35】+【48】=200 2016/12/25(日)16:53:54 ID:NDC
そうか、中心の2点は対角線に置かんでもええんか

166: 名無しさん@おーぷん 2016/12/25(日)18:05:45 ID:xbZ
まだ答えは確定してないんか?
このさわって納得する実験方法はどや
no title

168: 名無しさん@おーぷん 2016/12/25(日)18:08:40 ID:q4q
>>166
それで新しい置き方を模索してくれ

172: 名無しさん@おーぷん 2016/12/25(日)19:24:30 ID:q4q
>>157の置き方で得られる答えは6次方程式
52x^6 -216x^5 -108x^4 -1620x^3 +18873x^2 -43740x +29160 = 0
の実数解のうち√2より小さいもの
解析的な解き方は分からないのでエクセルのソルバーで数値解を求めて
1.2630...
>>139の1.258より大きい!

174: 【53】+【94】=200 2016/12/25(日)19:28:58 ID:NDC
ということは>>157が最適解?

175: 名無しさん@おーぷん 2016/12/25(日)19:42:00 ID:q4q
>>174
さらに優れた置き方がないことを証明できない限り終わらないんだよなあ…
√2を超えられないのは確かだが