全数学の中で最も感動的で美しい定理 : 休処

1: １３２人目の素数さん 2015/10/19(月) 20:25:18.19 ID:6Fg+H+Hw

フォイエルバッハ(Feuerbach)の定理

三角形においてその九点円は内接円に内接し傍接円に外接する。

これ以上素晴らしい定理はみたことがない
他の定理はどれも汚い
これより素晴らしい定理があるか

引用元: http://ai.2ch.sc/test/read.cgi/math/1445253918/

2: １３２人目の素数さん 2015/10/19(月) 20:30:27.64 ID:JQuWRZpQ

俺はモーリーの定理かな

3: １３２人目の素数さん 2015/10/19(月) 20:44:53.53 ID:6Fg+H+Hw

>>2
まあそれも美しいが、内接円と３つの傍接円という基本円に９点円が接する
ものには勝てまい。円が接しているという美には三等分線と正三角形も勝てない

4: １３２人目の素数さん 2015/10/19(月) 20:57:45.39 ID:bF1lbvkg

閉曲面の分類定理の方が綺麗だわ

6: １３２人目の素数さん 2015/10/19(月) 21:57:19.85 ID:Bg70Q05b

鎖複体

13: １３２人目の素数さん 2015/10/20(火) 14:13:32.74 ID:u08PMjTc

>>1には勝てないな。極めて基礎的な初等幾何の概念である三角形
の中に９点円が存在するだけでも美しいが、さらにそれが他の基礎的な
円である三角形の内接円と、３つの傍接円全てに接するとか奇跡としか
いいようがない

子供でも分かる感動的な定理と言える

14: １３２人目の素数さん 2015/10/20(火) 14:15:02.90 ID:u08PMjTc

これを証明したフォイエルバッハは夭逝してしまったので
むしろ証明まで理解するのは致死的と言えるほど美しいのだろう

我々はただ崇めるしかない至高の定理

20: １３２人目の素数さん 2015/10/20(火) 18:34:06.59 ID:YWOaJH41

応用価値の高さならブラウワーの不動点定理やハーン・バナッハもいい線いくんじゃないかと思うけど、>>1に美しいと認定してもらえる自信はないなぁ。
改めて考えてみると、イマイチ浮かばない。
微積分の基本定理や次元公式は、美しくかつ応用価値も高いと言えるかな。

21: １３２人目の素数さん 2015/10/20(火) 19:35:02.66 ID:rUR9A0Fq

エルランゲン・プログラム
幾何は群論で統一される

23: １３２人目の素数さん 2015/10/20(火) 22:04:30.54 ID:CDCCPi08

この図

24: majorana109 2015/10/20(火) 22:53:41.99 ID:moj++KIP

ガウス曲率定理を上げる。

実は数論の核心に迫る定理だ。

27: １３２人目の素数さん 2015/10/22(木) 07:53:02.96 ID:XWMvV6Uz

e^(iπ)=-1のことをみんなどう思ってるの

29: １３２人目の素数さん 2015/10/22(木) 16:46:18.99 ID:ML/z6Hd+

オイラーの定理は所詮大学レベルの老人臭い人工的な代数学の定理

初等幾何、組み合わせ論、数論、代数学の順番に定理は美しい

30: １３２人目の素数さん 2015/10/22(木) 16:51:32.33 ID:HVyOsrMy

>>27
理系なら誰でも大学の教養課程ですぐに知ることになるので、初等的過ぎて特別な感慨などない
というのが素直な気持ち
それと、これはどう考えても解析の定理であって、代数的な要素はない

31: １３２人目の素数さん 2015/10/22(木) 17:10:35.72 ID:G9aA7CcL

数学者が選ぶ美しい公式
第1位「オイラーの公式」　（博士の愛した数式）
リチャード・ファインマンはこの公式を評して「我々の至宝」かつ「すべての数学のなかでもっとも素晴らしい公式」だと述べた
第2位「オイラーの多面体公式」

>>29-30
＞オイラーの定理は所詮大学レベルの老人臭い人工的な代数学の定理

さすが世界中のプロ数学者や超一級理論物理学者以上に数学を知っているやつらの感想は違う

＞理系なら誰でも大学の教養課程ですぐに知ることになるので、初等的過ぎて特別な感慨などない

ピタゴラスの定理だっていまだに感慨を受けるがな　簡単証明の手順がわかっていても原初的な不思議と感動だ
もっとも初等的で素朴なものに触れたときの感慨をいつまでも持ち続ける人間に数学や理系の才能はなさそうだな
初等的なものなどに意味はなーい　キリッ　さすがさすがユウシュウユウシュウ

35: １３２人目の素数さん 2015/10/22(木) 19:30:34.30 ID:ft2LsPZ2

ド・モアブルの定理

36: １３２人目の素数さん 2015/10/22(木) 19:35:29.02 ID:fygQaR32

不完全性定理

38: １３２人目の素数さん 2015/10/22(木) 19:41:30.37 ID:Qx1oAgSm

ジョルダンの閉曲線定理

39: １３２人目の素数さん 2015/10/22(木) 19:44:03.54 ID:ML/z6Hd+

三角形の各辺の中点、垂線の足、垂心と頂点の中点が同一円周上にあり
その円が三角形の内接円に内接するばかりか、三つの傍接円全部に外接
するという奇跡に勝てる定理はない。

40: １３２人目の素数さん 2015/10/22(木) 20:23:25.01 ID:ft2LsPZ2

オイラー数

45: １３２人目の素数さん 2015/10/22(木) 21:41:50.77 ID:ft2LsPZ2

ユークリッド幾何は運動群だったか

46: １３２人目の素数さん 2015/10/22(木) 21:54:00.97 ID:ZjXDX32B

微積分学の基本定理は美しいと思った。
美しいと言うより、ここから始まる微積分学がどれだけ複雑な学問かと思うと、入り口の式の単純さに驚く。

48: １３２人目の素数さん 2015/10/22(木) 22:38:24.60 ID:0lG95DvM

超幾何級数関連の等式が美しいと感じる
最も基本的なので言えば、幾何級数

1/(1-z) = 1 + z + z^2 + …　（ lim[n→∞]z^n → 0 ）

など
単純かつ実用的

59: １３２人目の素数さん 2015/10/22(木) 23:04:05.79 ID:fabajAto

準同型定理

60: １３２人目の素数さん 2015/10/22(木) 23:05:16.55 ID:fabajAto

核余核、コホモロジー

61: １３２人目の素数さん 2015/10/22(木) 23:06:33.33 ID:Zwbuzi/E

そして指数定理の指数

62: １３２人目の素数さん 2015/10/23(金) 00:37:05.77 ID:piDYbHv4

自由加群

63: １３２人目の素数さん 2015/10/23(金) 01:18:49.76 ID:gUOptNsT

初等整数論の問題が群論使うと自明になるような、そういう一般的な原理を支えている性質が美しい

64: １３２人目の素数さん 2015/10/23(金) 01:53:56.28 ID:cZxNRGVI

ガウス・ボンネくらいは常識だろ

65: １３２人目の素数さん 2015/10/24(土) 08:31:02.83 ID:uXeXYg2k

おまえら閉曲面の分類定理なんで好きじゃないの
あんなに綺麗な結果が出てるのに

67: majorana109 2015/10/24(土) 10:38:13.76 ID:ysbEmW8k

ガウス曲率と、ひまわりの美に。

似合う定理はあるかな、

対数螺旋、ベルヌーイ螺旋というのは、外に向かって広がりたい思いと
円を描いて安定したいという思い。

その調和からのものであります。

68: １３２人目の素数さん 2015/10/24(土) 10:49:46.23 ID:2S8ECmTT

アーベルの定理
まさか５次方程式以上の解の公式がないとはな

71: １３２人目の素数さん 2015/10/24(土) 15:10:50.26 ID:AGdrDAbm

しかも九点円の中心はオイラー線上にあるってすごすぎる

72: １３２人目の素数さん 2015/10/24(土) 16:07:05.63 ID:1EzV4gEF

更に、

外接円の対蹠点上にある2点から導かれる2本のシムソン線は、九点円上で直交する。

垂心と外接円上の任意の点の中点は九点円上にある。

三角形の内心と傍心、傍心同士の中点は外接円上にある。

78: １３２人目の素数さん 2015/10/24(土) 21:22:32.68 ID:9ryTzsgF

一致の定理(wikipediaより)
複素解析において、通常は可算点列上で局所的に一致する2つの正則関数が大域的に一致することを主張する定理

79: １３２人目の素数さん 2015/10/24(土) 22:18:00.58 ID:PGwbOHKa

>>78
馬鹿言え。それは、美しい定理の代表格のひとつだ。

＞可算点列上で局所的に一致する
それを、集積点を持つ集合上で一致する
と言えれば、美しさに気づくのかな？

80: １３２人目の素数さん 2015/10/25(日) 06:59:50.78 ID:UZuZw61G

四色定理

82: １３２人目の素数さん 2015/10/25(日) 11:20:35.75 ID:8NUgvWH/

オザワシステム基本定跡

84: １３２人目の素数さん 2015/10/25(日) 14:22:58.78 ID:Uv6u0H16

シローの定理とかはどう思う？
群論のね

85: １３２人目の素数さん 2015/10/25(日) 15:45:09.18 ID:yazxyviR

>>84
あれは、重要だが、醜いね。

四色定理の美しい証明を見つけたら、
平面グラフの深い理解が得られるかなあ...

86: １３２人目の素数さん 2015/10/26(月) 00:27:46.48 ID:NdespURV

グラフ理論の中では

hall 結婚定理がシンプルかつ美しいと思うが。

87: １３２人目の素数さん 2015/10/26(月) 00:48:10.32 ID:BWLbFGEf

単体複体

89: １３２人目の素数さん 2015/10/26(月) 06:06:50.75 ID:y0F5f9Zz

メネラウスの定理

91: １３２人目の素数さん 2015/10/26(月) 17:28:34.09 ID:07mGNyRX

やっぱり俺は群論の定理に惹かれる
意図的なのかもしれないけどすごくととのってる感じがいい

93: １３２人目の素数さん 2015/10/27(火) 19:27:19.81 ID:yuCEOaWd

球面調和関数

98: １３２人目の素数さん 2015/10/29(木) 08:36:03.47 ID:x0LPZrS2

複素関数の最大値原理

代数学の基本定理

99: １３２人目の素数さん 2015/10/29(木) 15:22:26.58 ID:DWNd3j9s

二項定理

100: majorana109 2015/10/30(金) 00:07:19.96 ID:ZkOSFP8P

ガウス曲率、驚異の定理

102: １３２人目の素数さん 2015/10/30(金) 08:08:38.88 ID:4voFxvXB

王道を往く
コーシーの積分の定理
じゃダメか・・・・

103: １３２人目の素数さん 2015/10/30(金) 08:09:54.43 ID:4voFxvXB

初心に戻って円周角の定理なんてのもいい

104: １３２人目の素数さん 2015/10/30(金) 18:56:16.45 ID:+VHzLRwG

ツォルンの補題

109: １３２人目の素数さん 2015/10/30(金) 21:19:29.97 ID:VD/IQ3hl

なんかガウスの発散定理で囲まれた領域に関わらず
その体積分が４πになるっていうのなかったっけ？
これは美しいと思います！

114: １３２人目の素数さん 2015/10/30(金) 23:24:02.72 ID:EK+u0/4t

ガロアの基本定理

115: １３２人目の素数さん 2015/10/31(土) 02:05:44.63 ID:IbSodtOA

初等幾何ならポンスレの閉形定理もきれいですごいと思う

118: １３２人目の素数さん 2015/11/01(日) 07:09:33.50 ID:qmQDCBQt

素数無限個定理

119: １３２人目の素数さん 2015/11/01(日) 11:18:12.72 ID:YHXEyFfR

ゼッケンドルフ表現

120: １３２人目の素数さん 2015/11/02(月) 00:45:11.28 ID:RypvpwNU

トンヤラーの等式
E^θ=aδθ^κ (Eは定数)

これが最も美しい

126: １３２人目の素数さん 2015/11/03(火) 03:32:02.13 ID:SaXkUUII

オイラー・ラグランジュの方程式。

最速降下曲線を知るために作られたこの画期的な方法に昔の人の知恵が感じられる

129: １３２人目の素数さん 2015/11/04(水) 22:09:27.14 ID:7JB3mVpQ

完全順列になる確率の極限も美しい
つか定理じゃないが

136: １３２人目の素数さん 2015/11/05(木) 19:27:59.92 ID:ctzGjMPX

ピタゴラスの定理ですね
初めて発見した時は身体中が震えて涙が止まらなかった

143: １３２人目の素数さん 2015/11/05(木) 21:36:20.43 ID:aVhdT/kR

実数の組(x, y)と点を対応させるだけでは直交座標とは呼べないよ
そこに意図的にユークリッド的な計量を追加しないと

148: １３２人目の素数さん 2015/11/05(木) 23:04:24.08 ID:QRm+GKO+

ユークリッド空間の公理だよ

149: １３２人目の素数さん 2015/11/06(金) 14:43:05.53 ID:tF0jG4yq

鳩の巣原理

152: １３２人目の素数さん 2015/11/06(金) 19:24:21.80 ID:EbPaCmUT

ま
現在と言えば双曲幾何とかのサーストンの定理とかはあるけど
現代ピタゴラス幾何というのはないわな
やってみると分かるけど双曲幾何はなかなか難しいよ

153: １３２人目の素数さん 2015/11/06(金) 22:12:57.18 ID:LLKjSdI5

テーラー展開がいいじゃん

158: １３２人目の素数さん 2015/11/08(日) 15:19:36.20 ID:AwlvqUQv

ラグランジュの定理は置いておくとしても、一般論の精緻さと具体例の多彩さで他の追随を許さないのが群論だと思う

159: １３２人目の素数さん 2015/11/09(月) 12:43:17.14 ID:j+IUGB2g

少ない約束ごとで
たくさんのきれいな定理があるのが群論の素晴らしさ

160: １３２人目の素数さん 2015/11/09(月) 17:42:32.42 ID:Quy+Y2dO

基礎寄りだからね。
線型代数とか、
ベクトル空間の定義を
群の公理で書き出すだけで
息があがる。

161: １３２人目の素数さん 2015/11/09(月) 17:55:01.11 ID:OrYdpHs8

同意
とくに準同形写像全般は
数学の醍醐味の一つである構造決定の
始点みたいなイメージ

162: １３２人目の素数さん 2015/11/09(月) 19:09:42.23 ID:QEOe1t46

自由加群

171: １３２人目の素数さん 2015/11/12(木) 18:53:20.67 ID:+ZN/xaOt

指数定理とか指数定理とか

172: １３２人目の素数さん 2015/11/12(木) 20:32:12.22 ID:NoX6mGQ5

ヘロンの公式

174: １３２人目の素数さん 2015/11/19(木) 19:58:20.25 ID:srEdnW92

完全形式と閉形式

176: １３２人目の素数さん 2015/11/19(木) 20:11:29.59 ID:Oapt1yRe

コホモロジー

180: １３２人目の素数さん 2015/11/20(金) 01:31:49.10 ID:jaa1FTuE

モーリーの定理

181: １３２人目の素数さん 2015/11/27(金) 00:58:22.08 ID:vS42JM3E

形式和

182: １３２人目の素数さん 2015/12/02(水) 18:24:01.16 ID:bSoIQd6L

>>1
普通にラグランジュの四平方定理の方が美しいだろ。

185: １３２人目の素数さん 2015/12/03(木) 20:55:52.19 ID:ABQpT3ez

位相幾何の本に平方剰余の相互法則が出てきたときは感激した

186: １３２人目の素数さん 2015/12/05(土) 01:22:23.34 ID:0C9WIMKV

形式的冪級数による数え上げの理論はすごいとおもた

190: １３２人目の素数さん 2015/12/06(日) 00:00:06.73 ID:mnmwwWKK

五色定理

193: １３２人目の素数さん 2015/12/26(土) 07:55:01.06 ID:QLSMCkAd

バーゼル問題

210: １３２人目の素数さん 2016/03/04(金) 19:07:56.28 ID:gnNpB9iM

群論のシローの定理
位相空間論のチコノフの定理
多様体論の逆関数定理
これらは証明をなぞるだけで脳内麻薬がピュッピュ出てくる。

あと、超越数論のゲルフォント＝シュナイダーの定理
何より名前がかっこよすぎる。

211: １３２人目の素数さん 2016/03/04(金) 20:02:25.68 ID:1njdskzb

シローの定理の証明はごちゃごちゃしてるけど
よく読んだら印象に残るよな
しかもあの主張の分かりやすさと美しさ

212: １３２人目の素数さん 2016/03/04(金) 23:54:12.17 ID:ls/JnVG4

汎用性で準同型定理。
可換図式でとにかく同型、同型、同型、、、

219: １３２人目の素数さん 2016/04/04(月) 20:22:11.38 ID:vrSLfEWr

初等整数論講義に載ってるよ
高木の論文集の最初の方にも載ってるけど、初等整数論講義がいいと思う

博士論文とその証明、どっちを自慢してたろうな

220: １３２人目の素数さん 2016/04/04(月) 20:22:42.82 ID:vrSLfEWr

別に内容は頭のいい中学生でも理解できる

221: １３２人目の素数さん 2016/04/11(月) 14:27:04.06 ID:d2UTcKz7

e^(iπ)=-1

この公式で数学者志向になった人が大勢いるそうだ。
確かに美しいを超えて神秘的ですらある。
この宇宙の根源的な定数が、こんなに見事に関係しているとは!!!!!!

223: １３２人目の素数さん 2016/04/11(月) 18:43:25.51 ID:4jSs8Hgy

この場合の e は 2.71828... という「定数」としての意味合いは希薄で、「関数の名前」でしかないよ。
つまり、sin(π)=0、cos(π)=-1　というだけ。

225: １３２人目の素数さん 2016/04/11(月) 18:54:51.33 ID:4jSs8Hgy

「この場合」と書いたけど、これは、「eの肩に乗っているものが、実数でない場合」ということ。
実数、あるいは、実部のある複素数が乗っていれば、定数が重要な意味を持つのはあたりまえ。

227: １３２人目の素数さん 2016/04/11(月) 19:30:10.24 ID:Zt7lTSlq

オイラーの公式は対称性の現れ

229: １３２人目の素数さん 2016/04/11(月) 21:11:22.59 ID:AWxcg4hB

フェルマーの最終定理

230: １３２人目の素数さん 2016/04/12(火) 13:36:31.80 ID:brsVRZAd

>>229

定理そのものは中学生でも分かるからなぁ。

どうしてガウスは挑戦しなかっただろう。或る本によると、
ガウス曰く、そのテの問題はザラにあるから、そんな問題を
いちいち解く時間はない。とのことだそうで。

232: １３２人目の素数さん 2016/04/12(火) 14:00:07.54 ID:qK9qcUPJ

>>230
ガウスに時間が足りなかったのは、事実だろう。
フェルマーに紙面が足りなかったのと同じように。

233: １３２人目の素数さん 2016/04/12(火) 14:05:35.44 ID:brsVRZAd

ゲーデルの不完全定理はどうでしょうかねぇ

尤も竹内外史先生によると、この定理を完璧に理解しているのは
全数学者達の中でも数名程度だそうで･･･

235: １３２人目の素数さん 2016/04/12(火) 14:23:51.50 ID:brsVRZAd

>>233

あのオッペンハイマー先生によると、
『(ゲーデルの)仕事は数学的議論の論理的構造をはかりしれぬほど深め、
また豊かにしたのみならず、人間の理性一般における限界というものの
役割を明らかにした。』だそうで。

してみると、「美しい」という次元以上の定理ですわな、この定理。
人類史上レべルの大発見ということですから。

フォン・ノイマンは此の定理を知って、関連していた自身の講義を打ち切った
そうで･･･

245: １３２人目の素数さん 2016/04/12(火) 19:28:47.39 ID:mIvyCdnC

ゲーデルの不完全性定理は数学の定理じゃないけど
数学の外側でもそんな程度かと知るきっかけになる

249: １３２人目の素数さん 2016/04/16(土) 00:40:42.28 ID:uKmcZ1KM

幾何学の分類定理全般

274: １３２人目の素数さん 2016/05/06(金) 10:52:32.55 ID:Pq4YNc6m

コーシーの積分定理　

283: １３２人目の素数さん 2016/05/10(火) 00:19:14.29 ID:xc6xzinm

高次元球の体積

284: １３２人目の素数さん 2016/05/10(火) 00:20:24.66 ID:xSDXvBp7

ネーターの定理は神